公式索引
倒数型整体换元恒等式
\[ u^2+\frac {1}{u^2}=\left (u+\frac {1}{u}\right )^2-2,\qquad u\ne 0. \]
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• 使用条件： 原式中出现 \(u+\frac {1}{u}\) 或可通过同除 \(u^k\) 构造该整体，且 \(u\ne 0\)。
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• 典型题型： 已知 \(f\left (u+\frac {1}{u}\right )\) 反求 \(f(x)\)，以及含倒数结构的整体换元。
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• 易错点： 不能把题设参数 \(u\) 与最终自变量 \(x\) 混用；若出现 \(u-\frac {1}{u}\)，还要额外关注分支和符号。
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• 关联题目： MATH1-CALC-0001。
反函数复合恒等式
设 \(f:D\to R\) 一一对应，反函数为 \(f^{-1}:R\to D\)，则
\[ f^{-1}(f(x))=x,\qquad x\in D, \]
\[ f(f^{-1}(y))=y,\qquad y\in R. \]
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• 使用条件： 原函数必须在给定定义域上一一对应；第一个恒等式中 \(x\) 属于原函数定义域，第二个恒等式中 \(y\) 属于原函数值域。
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• 典型题型： 反函数求值、复合函数化简、由图像或定义域值域判断反函数。
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• 易错点： \(f^{-1}(x)\) 是反函数，不是 \(\frac {1}{f(x)}\)；若忽略变量范围，可能把无定义的复合式误写成恒等式。
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• 关联知识点： 反函数 （第 1 讲“反函数的定义、存在 条件与图像关系”）。
倒数代换中的根式化简
当 \(x>0\) 时，
\[ \sqrt {1+\frac {1}{x^2}} =\sqrt {\frac {x^2+1}{x^2}} =\frac {\sqrt {1+x^2}}{x}. \]
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• 使用条件： 必须明确 \(x>0\)。一般情况下 \(\sqrt {x^2}=|x|\)，不能直接写成 \(x\)。
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• 典型题型： 将关系式中的 \(x\) 换为 \(\frac {1}{x}\) 后化简右端。
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• 易错点： 忘记绝对值导致符号错误。
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• 关联题目： MATH1-CALC-0002。
反双曲正弦与双曲正弦互为反函数
\[ \ln \left (x+\sqrt {x^2+1}\right )=y \quad \Longleftrightarrow \quad x=\frac 12\left (e^y-e^{-y}\right ). \]
等价地，
\[ \operatorname {arsinh}x=\ln \left (x+\sqrt {x^2+1}\right ), \qquad \sinh x=\frac {e^x-e^{-x}}{2}. \]
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• 使用条件： \(x+\sqrt {x^2+1}>0\)，原函数在 \(\mathbb {R}\) 上有定义并一一对应。
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• 典型题型： 求 \(\ln \left (x+\sqrt {x^2+1}\right )\) 的反函数，或识别反双曲正弦、双曲正弦结构。
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• 易错点： 直接平方硬解容易变繁；倒数有理化可直接得到 \(e^{-y}=\sqrt {x^2+1}-x\)。
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• 关联题目： MATH1-CALC-0003。
复合函数定义域条件
若 \(f\) 的定义域为 \(D_f\)，\(g\) 的定义域为 \(D_g\)，则
\[ D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}. \]
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• 使用条件： 先保证内层 \(g(x)\) 有意义，再保证内层输出能作为外层 \(f\) 的输入。
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• 典型题型： 复合函数定义域、分段函数复合、已知复合结果反求中间函数。
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• 易错点： 把复合函数定义域误认为内层函数定义域，漏掉外层函数对内层输出的限制。
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• 关联题目： MATH1-CALC-0004，MATH1-CALC-0005。
平方复合反求中间函数
若 \(f(t)=t^2\)，且
\[ f[\varphi (x)]=G(x), \]
则
\[ [\varphi (x)]^2=G(x). \]
若进一步已知 \(\varphi (x)\ge 0\)，则
\[ \varphi (x)=\sqrt {G(x)}. \]
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• 使用条件： \(G(x)\ge 0\)，并且必须有分支条件才能唯一确定 \(\varphi (x)\)。
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• 典型题型： 已知平方型外层函数和复合结果，反求内层函数。
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• 易错点： 没有 \(\varphi (x)\ge 0\) 等条件时，不能只取正根。
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• 关联题目： MATH1-CALC-0004。
函数有界性的定义
函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有界，等价于存在正数 \(M\)，使得
\[ |f(x)|\le M,\qquad x\in I. \]
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• 使用条件： 必须先明确讨论区间 \(I\)。
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• 典型题型： 证明函数有界，或判断在不同区间上的有界性。
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• 易错点： 只证明上有界而忘记下有界；未取绝对值。
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• 关联题目： MATH1-CALC-0006。
基本不等式型放缩
\[ 1+x^2\ge 2|x|,\qquad x\in \mathbb {R}. \]
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• 使用条件： 由 \(\frac {1+x^2}{2}\ge |x|\) 得到。
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• 典型题型： 处理 \(\frac {|x|}{1+x^2}\) 一类有界性证明。
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• 易错点： 当需要除以 \(|x|\) 时必须单独讨论 \(x=0\)。
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• 关联题目： MATH1-CALC-0006。
常见放缩公式清单
\[ a^2+b^2\ge 2ab,\qquad a,b\in \mathbb {R}. \]
\[ a+\frac 1a\ge 2,\qquad a>0. \]
\[ \frac {a+b}{2}\ge \sqrt {ab},\qquad a\ge 0,\ b\ge 0. \]
\[ |a+b|\le |a|+|b|,\qquad \bigl ||a|-|b|\bigr |\le |a-b|. \]
\[ \sqrt {x^2+a}\ge |x|,\qquad a\ge 0. \]
若 \(A,B,C>0\)，且 \(A\ge B\)，则
\[ \frac {C}{A}\le \frac {C}{B}. \]
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• 使用条件： 放缩时必须确认正负号，尤其是分母放缩只在正分母下可直接保持方向。
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• 典型题型： 有界性、估值、极限夹逼、证明不等式、避免繁琐求导求最值。
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• 易错点： 放大分母会使正分式变小；若分子或分母可能变号，必须先取绝对值或分情况。
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• 关联题目： MATH1-CALC-0006。
单调性的乘积判别式
对任意 \(x_1,x_2\in I\)，\(x_1\ne x_2\)，有
\[ f\text { 严格递增} \quad \Longleftrightarrow \quad (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0, \]
\[ f\text { 严格递减} \quad \Longleftrightarrow \quad (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0. \]
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• 使用条件： 在同一区间 \(I\) 内任取两点。
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• 典型题型： 无导数条件下判断或证明单调性。
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• 易错点： 忘记 \(x_1<x_2\) 时 \(x_1-x_2<0\)，导致符号判断反了。
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• 关联题目： MATH1-CALC-0007。
奇偶函数判定与分解
\[ f(-x)=f(x)\Longleftrightarrow f\text { 为偶函数}, \qquad f(-x)=-f(x)\Longleftrightarrow f\text { 为奇函数}. \]
在定义域关于原点对称时，
\[ \frac 12[f(x)+f(-x)]\text { 为偶函数},\qquad \frac 12[f(x)-f(-x)]\text { 为奇函数}. \]
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• 使用条件： 定义域必须关于原点对称。
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• 典型题型： 奇偶性证明、图像对称、函数方程赋值。
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• 易错点： 没有先检查定义域；混淆奇函数和偶函数条件。
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• 关联题目： MATH1-CALC-0008。
周期函数的基本判定
\[ f(x+T)=f(x)\quad (T\ne 0) \]
表示 \(T\) 是 \(f(x)\) 的一个周期。
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• 使用条件： 对定义域内所有相关 \(x\) 成立，且 \(x+T\) 仍在定义域内。
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• 典型题型： 由递推关系、三角诱导公式或复合结构证明周期性。
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• 易错点： 证明一个周期不等于证明最小正周期。
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• 关联题目： MATH1-CALC-0009。