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索引： 单调性
知识点
概念定位：
单调性描述函数在区间上随自变量增大时的整体变化趋势。它仍然是区间性质，不是单点性质。
定义：
设 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，区间 \(I\subset D\)。如果对任意 \(x_1,x_2\in I\)，当 \(x_1<x_2\) 时恒有
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
则称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上严格单调增加。
如果对任意 \(x_1,x_2\in I\)，当 \(x_1<x_2\) 时恒有
\[ f(x_1)>f(x_2), \]
则称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上严格单调减少。
乘积判别式：
对任意 \(x_1,x_2\in I\)，\(x_1\ne x_2\)，有
\[ f(x)\text { 严格单调增加} \quad \Longleftrightarrow \quad (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0. \]
有
\[ f(x)\text { 严格单调减少} \quad \Longleftrightarrow \quad (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0. \]
为什么这个判别式成立：
若 \(x_1<x_2\)，则 \(x_1-x_2<0\)。严格递增时 \(f(x_1)<f(x_2)\)，所以
\[ f(x_1)-f(x_2)<0. \]
两个负数相乘为正，故乘积大于 \(0\)。这正是“自变量差”和“函数值差”同号的意思。
常见误区：
题目
题目：
设 \(f(x)\) 在 \((-\infty ,+\infty )\) 上有定义，任给 \(x_1,x_2\)，\(x_1\ne x_2\)，均有
\[ (x_1-x_2)\bigl [f(x_1)-f(x_2)\bigr ]>0. \]
则以下函数一定单调增加的是
\[ \text {(A) } |f(x)|,\qquad \text {(B) } f(|x|),\qquad \text {(C) } f(-x),\qquad \text {(D) } -f(-x). \]
题解
思路入口：
题设给出的不是导数，而是单调性的乘积判别式。它表示 \(f(x)\) 在全体实数上严格单调增加。接下来要看四个变换对单调性的影响：取绝对值、输入取绝对值、横向反射、先横向反射再纵向反射。
详细解答：
由题设
\[ (x_1-x_2)\bigl [f(x_1)-f(x_2)\bigr ]>0 \]
可知 \(f(x)\) 是严格单调增加函数。
先看选项 (D)。令
\[ F(x)=-f(-x). \]
任取 \(x_1<x_2\)，则
\[ -x_1>-x_2. \]
因为 \(f\) 严格单调增加，所以
\[ f(-x_1)>f(-x_2). \]
两边同时乘以 \(-1\)，不等号反向：
\[ -f(-x_1)<-f(-x_2). \]
即
\[ F(x_1)<F(x_2). \]
因此
\[ -f(-x) \]
一定严格单调增加。
为什么其他选项不一定：
选项 (C) 中，\(f(-x)\) 是把 \(f(x)\) 的图像关于 \(y\) 轴对称。横向反射会把严格递增变成严格递减，所以不符合。
选项 (A) 中，\(|f(x)|\) 会把 \(f(x)<0\) 的部分翻到 \(x\) 轴上方，不一定保持单调。例如取 \(f(x)=x\)，则
\[ |f(x)|=|x| \]
在 \(\mathbb {R}\) 上不是单调增加。
选项 (B) 中，\(f(|x|)\) 会先把 \(x<0\) 的部分折到 \(x>0\)，通常得到偶函数，不可能在整个实数轴上严格单调增加。例如取 \(f(x)=x\)，则
\[ f(|x|)=|x| \]
仍不是单调增加。
合法性检查：
题设中 \(f\) 在全体实数上有定义，所以 \(-x\)、\(|x|\) 作为输入时都不会超出定义域。判断 (D) 时不能只凭图像直觉，最好用定义法写出 \(x_1<x_2\Rightarrow F(x_1)<F(x_2)\)。
考场满分写法：
由题设可知 \(f\) 严格单调增加。令
\[ F(x)=-f(-x). \]
若 \(x_1<x_2\)，则 \(-x_1>-x_2\)。由 \(f\) 递增得
\[ f(-x_1)>f(-x_2). \]
故
\[ -f(-x_1)<-f(-x_2), \]
即 \(F(x_1)<F(x_2)\)，所以 \(F(x)=-f(-x)\) 严格单调增加。
答案：
\[ \boxed {\text {D}} \]
知识点
核心知识点：
若 \(f(x)\) 严格递增，则
\[ f(-x) \]
严格递减，而
\[ -f(-x) \]
严格递增。图像上看，\(f(-x)\) 是关于 \(y\) 轴对称，\(-f(-x)\) 是关于原点对称。
可迁移方法：
遇到单调性与图像变换题，优先用定义法验证。设新函数为 \(F(x)\)，任取 \(x_1<x_2\)，追踪输入变换后不等号如何变化，再判断 \(F(x_1)\) 与 \(F(x_2)\) 的大小。
易错点
易错点：
-
• 把 \(|f(x)|\) 误认为保持单调： 取绝对值会翻折负值部分，可能破坏单调性。
-
• 把 \(f(|x|)\) 误认为只限制定义域： 输入取绝对值会把左半轴折到右半轴，整体通常不是单调函数。
-
• 漏掉两次反向： \(x\mapsto -x\) 反一次单调性，外面再乘 \(-1\) 又反一次，所以 \(-f(-x)\) 保持递增。
复盘提醒：
单调性题不要只看形状，要能用定义法写出不等号链条。尤其是 \(f(-x)\)、\(-f(x)\)、\(-f(-x)\) 三类变换，要分别记清。