复合函数的定义、定义域与拆解方法
索引： 复合函数
概念定位：
复合函数属于函数基础中的“输入输出链条”问题。它真正考的不是把 \(f(g(x))\) 这个符号背下来，而是看清楚：内层函数先把 \(x\) 变成中间变量 \(u\)，外层函数再把 \(u\) 变成最终函数值 \(y\)。
定义：
设函数 \(y=f(u)\) 的定义域为 \(D_1\)，函数 \(u=g(x)\) 在集合 \(D\) 上有定义，并且
\[ g(D)\subset D_1. \]
则由
\[ y=f[g(x)],\qquad x\in D \]
确定的函数称为由内层函数 \(u=g(x)\) 和外层函数 \(y=f(u)\) 构成的复合函数，其中 \(u\) 称为中间变量。
更一般地，如果没有预先给定集合 \(D\)，则复合函数 \(f\circ g\) 的自然定义域应写成
\[ D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}. \]
。 这句话非常重要：复合函数的定义域不是简单照抄内层函数定义域，而是“内层能算，且内层输出能送进外层”
直觉解释：
复合函数就是一条流水线：
\[ x \xrightarrow {g} u=g(x) \xrightarrow {f} y=f(u). \]
所以做复合函数题时，第一眼不是展开计算，而是先问两个问题：
\[ \text {第一，内层输出是什么？} \qquad \text {第二，这个输出落入外层函数的哪一段或哪个定义域？} \]
使用条件：
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• 内层函数 \(g(x)\) 必须在当前 \(x\) 上有定义。
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• 内层函数值 \(g(x)\) 必须属于外层函数 \(f\) 的定义域。
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• 若外层函数是分段函数，判断分段条件时看的是内层输出 \(g(x)\)，不是原来的 \(x\)。
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• 若由 \(f[\varphi (x)]\) 反求 \(\varphi (x)\)，要把 \(\varphi (x)\) 当成整体变量，并用附加条件确定分支。
常见题型：
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• 已知 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，求 \(f[g(x)]\)、\(g[f(x)]\)。
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• 已知 \(f[\varphi (x)]\)，反求中间函数 \(\varphi (x)\)。
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• 外层或内层为分段函数时，求复合函数表达式。
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• 求复合函数的定义域和值域。
常见误区：
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• 只看原来的 \(x\) 属于哪一段，而忘记外层函数看的是内层输出。
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• 已知 \(f[\varphi (x)]\) 时，把 \(x\) 直接代入 \(f(x)\)，没有把 \(\varphi (x)\) 当作整体。
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• 求定义域时只管根号、分母和对数，却漏掉外层函数对内层输出的限制。
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• 从平方关系反求中间函数时忘记正负分支。
题目：
设
\[ f(x)=x^2,\qquad f[\varphi (x)]=-x^2+2x+3, \]
且 \(\varphi (x)\ge 0\)，求 \(\varphi (x)\) 及其定义域和值域。
思路入口：
本题的关键是把 \(\varphi (x)\) 看成一个整体。因为外层函数是
\[ f(t)=t^2, \]
所以
\[ f[\varphi (x)]=[\varphi (x)]^2. \]
题目已经给出 \(f[\varphi (x)]\)，于是先得到关于整体 \(\varphi (x)\) 的平方方程，再由 \(\varphi (x)\ge 0\) 选择非负根。
详细解答：
由 \(f(x)=x^2\)，可知对任意中间变量 \(t\)，
\[ f(t)=t^2. \]
令 \(t=\varphi (x)\)，则
\[ f[\varphi (x)]=[\varphi (x)]^2. \]
由题设
\[ [\varphi (x)]^2=-x^2+2x+3. \]
又因为题目给出 \(\varphi (x)\ge 0\)，所以只能取非负平方根：
\[ \varphi (x)=\sqrt {-x^2+2x+3}. \]
定义域：
为了使 \(\varphi (x)\) 为实值函数，根号内必须非负：
\[ -x^2+2x+3\ge 0. \]
等价于
\[ x^2-2x-3\le 0, \]
即
\[ (x-3)(x+1)\le 0. \]
所以
\[ -1\le x\le 3. \]
故 \(\varphi (x)\) 的定义域为
\[ [-1,3]. \]
值域：
将根号内配方：
\[ -x^2+2x+3=-(x-1)^2+4. \]
当 \(x\in [-1,3]\) 时，二次函数
\[ -(x-1)^2+4 \]
在 \(x=1\) 处取得最大值 \(4\)，在端点 \(x=-1,3\) 处取得最小值 \(0\)。因此
\[ -x^2+2x+3\in [0,4]. \]
开平方后
\[ \varphi (x)=\sqrt {-x^2+2x+3}\in [0,2]. \]
故 \(\varphi (x)\) 的值域为
\[ [0,2]. \]
合法性检查：
第一，\(\varphi (x)\ge 0\) 是选取正平方根的依据；如果没有这个条件，仅由 \([\varphi (x)]^2=-x^2+2x+3\) 不能唯一确定 \(\varphi (x)\)。第二，定义域必须来自根号内非负，而不是原外层函数 \(f(x)=x^2\) 的定义域，因为真正要求的是 \(\varphi (x)\) 这个函数的表达式。
考场满分写法：
必须写：
\[ f[\varphi (x)]=[\varphi (x)]^2=-x^2+2x+3. \]
由 \(\varphi (x)\ge 0\)，得
\[ \varphi (x)=\sqrt {-x^2+2x+3}. \]
再由
\[ -x^2+2x+3\ge 0 \]
得定义域
\[ [-1,3]. \]
最后配方
\[ -x^2+2x+3=-(x-1)^2+4 \]
得值域
\[ [0,2]. \]
答案：
\[ \boxed {\varphi (x)=\sqrt {-x^2+2x+3},\qquad D_\varphi =[-1,3],\qquad R_\varphi =[0,2].} \]
核心知识点：
已知 \(f[\varphi (x)]\) 且外层函数 \(f\) 明确时，要把 \(\varphi (x)\) 当成整体。若
\[ f(t)=t^2, \]
则
\[ f[\varphi (x)]=[\varphi (x)]^2. \]
可迁移方法：
遇到 \(f[\varphi (x)]\) 反求 \(\varphi (x)\)，按三步走：
\[ \text {识别外层函数}\ \longrightarrow \ \text {把内层整体代入}\ \longrightarrow \ \text {按附加条件选分支}. \]
如果外层函数不是一一对应函数，例如平方函数，就必须格外关注分支条件。
易错点：
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• 漏掉正负分支： 从 \([\varphi (x)]^2=G(x)\) 不能直接推出 \(\varphi (x)=\sqrt {G(x)}\)，本题能这样写是因为 \(\varphi (x)\ge 0\)。
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• 定义域判断不完整： \(\varphi (x)\) 的表达式含根号，必须要求 \(-x^2+2x+3\ge 0\)。
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• 值域只看端点： 根号内是开口向下的二次函数，最大值在 \(x=1\)，不能只代端点。
复盘提醒：
这题的母题是“已知外层函数和复合结果，反求内层函数”。核心动作不是展开，而是把内层函数当成一个整体未知量。
题目：
设
\[ g(x)= \begin {cases} 2-x, & x\le 0,\\ 2+x, & x>0, \end {cases} \qquad f(x)= \begin {cases} x^2, & x<0,\\ -x-1, & x\ge 0, \end {cases} \]
则求 \(g[f(x)]\)。
思路入口：
这是分段函数复合题。关键不是看原来的 \(x\) 是否大于 \(0\) 后直接套 \(g\)，而是先算内层函数
\[ u=f(x), \]
再判断 \(u\) 落在 \(g\) 的哪一段。也就是说，外层 \(g\) 的分段条件看的是 \(f(x)\le 0\) 还是 \(f(x)>0\)，不是看原来的 \(x\le 0\) 还是 \(x>0\)。
详细解答：
外层函数 \(g\) 的分段规则是
\[ g(u)= \begin {cases} 2-u, & u\le 0,\\ 2+u, & u>0. \end {cases} \]
因此
\[ g[f(x)]= \begin {cases} 2-f(x), & f(x)\le 0,\\ 2+f(x), & f(x)>0. \end {cases} \]
现在判断 \(f(x)\) 的符号。
当 \(x\ge 0\) 时，
\[ f(x)=-x-1\le -1<0. \]
所以此时 \(f(x)\le 0\)，应代入 \(g\) 的第一段：
\[ g[f(x)]=2-f(x)=2-(-x-1)=x+3. \]
当 \(x<0\) 时，
\[ f(x)=x^2>0. \]
所以此时 \(f(x)>0\)，应代入 \(g\) 的第二段：
\[ g[f(x)]=2+f(x)=2+x^2. \]
综上，
\[ g[f(x)]= \begin {cases} 2+x^2, & x<0,\\ 3+x, & x\ge 0. \end {cases} \]
合法性检查：
内层函数 \(f(x)\) 在全体实数上有定义，外层函数 \(g(x)\) 也在全体实数上有定义，所以复合函数 \(g[f(x)]\) 的定义域为
\[ \mathbb {R}. \]
边界点 \(x=0\) 必须归入 \(f\) 的第二段，因为题设为 \(x\ge 0\)。此时
\[ f(0)=-1\le 0, \]
所以外层 \(g\) 取第一段，得到
\[ g[f(0)]=3. \]
这与公式 \(3+x\) 在 \(x=0\) 的取值一致。
考场满分写法：
必须先写：
\[ g[f(x)]= \begin {cases} 2-f(x), & f(x)\le 0,\\ 2+f(x), & f(x)>0. \end {cases} \]
再判断：
\[ f(x)\le 0\Longleftrightarrow x\ge 0,\qquad f(x)>0\Longleftrightarrow x<0. \]
最后代回得
\[ g[f(x)]= \begin {cases} 2+x^2, & x<0,\\ 3+x, & x\ge 0. \end {cases} \]
答案：
\[ \boxed { g[f(x)]= \begin {cases} 2+x^2, & x<0,\\ 3+x, & x\ge 0. \end {cases}} \]
核心知识点：
分段复合函数的核心是“内层决定外层落段”。若要求 \(g[f(x)]\)，则 \(g\) 的分段条件要用 \(f(x)\) 去判断。
可迁移方法：
遇到分段函数复合，按四步走：
\[ \text {写外层分段规则}\ \longrightarrow \ \text {把外层输入换成内层函数}\ \longrightarrow \ \text {判断内层函数落段}\ \longrightarrow \ \text {代回化简}. \]
如果内层函数本身也是分段函数，建议先画图或列符号表。图像能快速告诉我们内层输出落在正半轴、负半轴还是跨越分段点。
易错点：
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• 看错分段变量： 求 \(g[f(x)]\) 时，\(g\) 的分段依据是 \(f(x)\)，不是原来的 \(x\)。
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• 边界点归属错误： \(x=0\) 应先归入 \(f(x)=-x-1\)，再判断 \(f(0)=-1\le 0\)。
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• 分段顺序混乱： 先判断内层 \(f(x)\) 的符号，再代入外层 \(g\)，不要把两层函数的分段条件揉在一起。
复盘提醒：
这题要练成条件反射：复合函数先看内层输出。外层函数问“我的输入落在哪一段”，这个输入不是 \(x\)，而是 \(f(x)\)。