\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {mathtools}\)
\(\newcommand {\vcentcolon }{\mathrel {\unicode {x2236}}}\)
\(\newcommand {\approxcolon }{\approx \vcentcolon }\)
\(\newcommand {\Approxcolon }{\approx \dblcolon }\)
\(\newcommand {\simcolon }{\sim \vcentcolon }\)
\(\newcommand {\Simcolon }{\sim \dblcolon }\)
\(\newcommand {\dashcolon }{\mathrel {-}\vcentcolon }\)
\(\newcommand {\Dashcolon }{\mathrel {-}\dblcolon }\)
\(\newcommand {\colondash }{\vcentcolon \mathrel {-}}\)
\(\newcommand {\Colondash }{\dblcolon \mathrel {-}}\)
\(\newenvironment {crampedsubarray}[1]{}{}\)
\(\newcommand {\smashoperator }[2][]{#2\limits }\)
\(\newcommand {\SwapAboveDisplaySkip }{}\)
\(\newcommand {\LaTeXunderbrace }[1]{\underbrace {#1}}\)
\(\newcommand {\LaTeXoverbrace }[1]{\overbrace {#1}}\)
\(\Newextarrow \xLongleftarrow {10,10}{0x21D0}\)
\(\Newextarrow \xLongrightarrow {10,10}{0x21D2}\)
\(\let \xlongleftarrow \xleftarrow \)
\(\let \xlongrightarrow \xrightarrow \)
\(\newcommand {\LWRmultlined }[1][]{\begin {multline*}}\)
\(\newenvironment {multlined}[1][]{\LWRmultlined }{\end {multline*}}\)
\(\let \LWRorigshoveleft \shoveleft \)
\(\renewcommand {\shoveleft }[1][]{\LWRorigshoveleft }\)
\(\let \LWRorigshoveright \shoveright \)
\(\renewcommand {\shoveright }[1][]{\LWRorigshoveright }\)
\(\newcommand {\shortintertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
索引： 奇函数
知识点
概念定位：
奇偶性是函数图像对称性的代数表达。偶函数图像关于 \(y\) 轴对称，奇函数图像关于原点对称。
定义：
设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(D\) 关于原点对称，即
\[ x\in D\quad \Longrightarrow \quad -x\in D. \]
如果对任意 \(x\in D\)，恒有
\[ f(-x)=f(x), \]
则称 \(f(x)\) 为偶函数。
如果对任意 \(x\in D\)，恒有
\[ f(-x)=-f(x), \]
则称 \(f(x)\) 为奇函数。
判断奇偶性的第一步：
必须先检查定义域是否关于原点对称。若定义域不关于原点对称，通常不能谈奇偶性。
常用结构：
对任意函数 \(f(x)\)，在定义域允许的前提下，
\[ f(x)+f(-x) \]
是偶函数，
\[ f(x)-f(-x) \]
是奇函数。
进一步令
\[ u(x)=\frac 12[f(x)+f(-x)],\qquad v(x)=\frac 12[f(x)-f(-x)], \]
则 \(u(x)\) 是偶函数，\(v(x)\) 是奇函数，且
\[ f(x)=u(x)+v(x). \]
这说明任意函数都可以分解成“偶函数部分 + 奇函数部分”。
复合函数的奇偶性规则：
记忆口诀：
\[ \text {内层为偶，整体为偶；内层为奇，整体看外层。} \]
也就是说，若 \(g(x)\) 是偶函数，则 \(f[g(x)]\) 通常为偶函数；若 \(g(x)\) 是奇函数，则外层 \(f\) 为偶时整体为偶，外层 \(f\) 为奇时整体为奇。
导数与积分中的奇偶互换：
若 \(f(x)\) 可导，则求导一次会使奇偶性互换：
\[ f\text { 奇}\Rightarrow f'\text { 偶},\qquad f\text { 偶}\Rightarrow f'\text { 奇}. \]
若
\[ F(x)=\int _0^x f(t)\,dt, \]
则
\[ f\text { 奇}\Rightarrow F\text { 偶},\qquad f\text { 偶}\Rightarrow F\text { 奇}. \]
题目
题目：
设对任意 \(x,y\)，都有
\[ f(x+y)=f(x)+f(y), \]
证明：\(f(x)\) 是奇函数。
题解
思路入口：
要证明 \(f(x)\) 是奇函数，目标是证明
\[ f(-x)=-f(x). \]
题设是对任意 \(x,y\) 成立的函数方程，所以自然使用赋值法：先令 \(x=y=0\) 求 \(f(0)\)，再令 \(y=-x\) 建立 \(f(x)\) 与 \(f(-x)\) 的关系。
详细解答：
令 \(x=0,y=0\)，由题设
\[ f(0+0)=f(0)+f(0). \]
即
\[ f(0)=2f(0), \]
所以
\[ f(0)=0. \]
再令 \(y=-x\)，则
\[ f(x+(-x))=f(x)+f(-x). \]
左边为
\[ f(0)=0, \]
因此
\[ 0=f(x)+f(-x). \]
所以
\[ f(-x)=-f(x). \]
这正是奇函数的定义，故 \(f(x)\) 是奇函数。
合法性检查：
题目说“任意 \(x,y\)”都成立，说明函数定义域至少对这些加法操作封闭，赋值 \(x=y=0\) 与 \(y=-x\) 是合法的。证明奇函数时还需要默认定义域关于原点对称；本题“任意 \(x,y\)”的条件已保证 \(-x\) 可以作为自变量参与讨论。
考场满分写法：
令 \(x=y=0\)，得
\[ f(0)=2f(0), \]
故
\[ f(0)=0. \]
再令 \(y=-x\)，得
\[ f(0)=f(x)+f(-x). \]
于是
\[ f(-x)=-f(x), \]
故 \(f(x)\) 为奇函数。
答案：
\[ \boxed {f(-x)=-f(x),\ \text {故} f(x)\text { 是奇函数}.} \]
知识点
核心知识点：
函数方程中出现“任意 \(x,y\)”时，优先尝试赋特殊值。证明奇函数常用
\[ x+y=0 \]
来制造 \(f(0)\)。
可迁移方法：
遇到
\[ f(x+y)=f(x)+f(y) \]
这类加法型函数方程，先求 \(f(0)\)，再用 \(y=-x\) 得到奇偶性或相反数关系。
易错点
易错点：
-
• 直接令 \(y=-x\) 但忘记先求 \(f(0)\)： 需要先知道 \(f(0)=0\) 才能得到 \(f(x)+f(-x)=0\)。
-
• 把奇函数误写成 \(f(-x)=f(x)\)： 这是偶函数条件。
-
• 忽略“任意”条件的作用： 正因为题设对任意 \(x,y\) 成立，才可以自由赋值。
复盘提醒：
函数方程题的第一反应是“赋值”。常用三件套：令变量为 \(0\)，令两个变量互为相反数，令两个变量相等。