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索引： 周期函数
知识点
概念定位：
周期性描述函数值按固定长度重复出现。它的本质是“平移不变”：
\[ f(x+T)=f(x). \]
定义：
设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)。如果存在非零常数 \(T\)，使得对任意 \(x\in D\)，都有 \(x+T\in D\)，且
\[ f(x+T)=f(x), \]
则称 \(f(x)\) 为周期函数，\(T\) 称为 \(f(x)\) 的一个周期。通常所说“周期”多指最小正周期，但证明题中只要证明某个 \(T\ne 0\) 是周期即可。
重要结论：
-
• 若 \(f(x)\) 以 \(T\) 为周期，则 \(f(ax+b)\) 以 \(\dfrac {T}{|a|}\) 为周期，其中 \(a\ne 0\)。
-
• 若 \(g(x)\) 是周期函数，则复合函数 \(f[g(x)]\) 也是周期函数。
-
• 若 \(f(x)\) 是以 \(T\) 为周期的可导函数，则 \(f'(x)\) 也以 \(T\) 为周期。
-
• 若 \(f(x)\) 是以 \(T\) 为周期的连续函数，则
\[ F(x)=\int _0^x f(t)\,dt \]
以 \(T\) 为周期的充要条件是
\[ \int _0^T f(x)\,dx=0. \]
常见误区：
-
• 证明 \(T\) 是周期，不等于证明它是最小正周期。
-
• 递推式中出现 \(x-\pi \) 或 \(x+\pi \) 时，要多次使用等式，把函数值推回到同一个位置。
-
• 看到 \(\sin (x+\pi )=-\sin x\)、\(\sin (x+2\pi )=\sin x\) 时，要主动联想到抵消结构。
题目
题目：
设函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty ,+\infty )\) 上满足
\[ f(x)=f(x-\pi )+\sin x. \]
证明：\(f(x)\) 是以 \(T=2\pi \) 为周期的周期函数。
题解
思路入口：
要证明 \(2\pi \) 是周期，只需证明
\[ f(x+2\pi )=f(x). \]
题设给的是一步后退 \(\pi \) 的关系，所以对 \(x+2\pi \)、\(x+\pi \) 连续使用题设，把 \(f(x+2\pi )\) 逐步推回 \(f(x)\)。中间会出现
\[ \sin (x+\pi )=-\sin x,\qquad \sin (x+2\pi )=\sin x, \]
正好相互抵消。
详细解答：
由题设，对任意实数 \(t\)，有
\[ f(t)=f(t-\pi )+\sin t. \]
令 \(t=x+2\pi \)，得
\[ f(x+2\pi )=f(x+\pi )+\sin (x+2\pi ). \]
再令 \(t=x+\pi \)，得
\[ f(x+\pi )=f(x)+\sin (x+\pi ). \]
代入上式：
\[ f(x+2\pi )=f(x)+\sin (x+\pi )+\sin (x+2\pi ). \]
利用诱导公式
\[ \sin (x+\pi )=-\sin x,\qquad \sin (x+2\pi )=\sin x, \]
可得
\[ \sin (x+\pi )+\sin (x+2\pi )=0. \]
因此
\[ f(x+2\pi )=f(x). \]
故 \(2\pi \) 是 \(f(x)\) 的一个周期。
合法性检查：
题设说明 \(f(x)\) 在全体实数上满足关系式，所以 \(x+\pi \)、\(x+2\pi \) 都在定义域内，递推代入合法。题目只要求证明 \(f(x)\) 以 \(2\pi \) 为周期，不要求证明 \(2\pi \) 是最小正周期。
考场满分写法：
由题设，
\[ f(x+2\pi )=f(x+\pi )+\sin (x+2\pi ). \]
又
\[ f(x+\pi )=f(x)+\sin (x+\pi ). \]
故
\[ f(x+2\pi )=f(x)+\sin (x+\pi )+\sin (x+2\pi ) =f(x)-\sin x+\sin x=f(x). \]
所以 \(f(x)\) 以 \(2\pi \) 为周期。
答案：
\[ \boxed {f(x+2\pi )=f(x),\quad \text {故} 2\pi \text { 是}f(x)\text { 的一个周期}.} \]
知识点
核心知识点：
由递推关系证明周期性时，核心是“多次套用同一个等式，把目标 \(f(x+T)\) 拉回 \(f(x)\)”。本题的抵消来自
\[ \sin (x+\pi )+\sin (x+2\pi )=0. \]
可迁移方法：
遇到
\[ f(x)=f(x-a)+\varphi (x) \]
这类题，要尝试连续迭代：
\[ f(x+2a),\quad f(x+a),\quad f(x), \]
观察新增项能否抵消。如果新增项是三角函数，优先使用诱导公式。
易错点
易错点：
-
• 只套一次等式： 只写 \(f(x+2\pi )=f(x+\pi )+\sin (x+2\pi )\) 还没有回到 \(f(x)\)。
-
• 诱导公式符号错： \(\sin (x+\pi )=-\sin x\)，\(\sin (x+2\pi )=\sin x\)。
-
• 误以为要证明最小正周期： 本题只需证明 \(2\pi \) 是一个周期。
复盘提醒：
周期证明题先写目标 \(f(x+T)=f(x)\)。题设若是递推式，就连续套用，直到所有新增项抵消。