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索引： 有界性
知识点
概念定位：
有界性回答的是：函数值在某个指定区间内会不会无限跑远。它不是单个点的性质，而是函数在一个集合或区间上的整体性质。
定义：
设 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，数集 \(I\subset D\)。如果存在正数 \(M\)，使得对任意 \(x\in I\)，都有
\[ |f(x)|\le M, \]
则称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上有界；如果这样的 \(M\) 不存在，则称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上无界。
直觉解释：
几何上，若在区间 \(I\) 内，函数图像能被两条水平直线
\[ y=M,\qquad y=-M \]
夹住，则函数在 \(I\) 上有界。
使用条件：
讨论有界性必须先明确区间 \(I\)。同一个函数在不同区间上有界性可能不同，例如
\[ y=\frac 1x \]
在 \((2,+\infty )\) 上有界，但在 \((0,2)\) 上无界。
无界的常见判据：
如果在区间 \(I\) 内或端点附近存在点 \(x_0\)，使得
\[ \lim _{x\to x_0}f(x)=\infty \quad \text {或}\quad \lim _{x\to x_0}f(x)=-\infty , \]
则函数在该区间上无界。因为任意大的水平线都无法把图像夹住。
题目
题目：
证明函数
\[ f(x)=\frac {x}{1+x^2} \]
在 \((-\infty ,+\infty )\) 内有界。
题解
思路入口：
证明有界的目标是找到一个常数 \(M\)，使得
\[ |f(x)|\le M \]
对所有实数 \(x\) 都成立。本题分母 \(1+x^2\) 永远为正，关键是把
\[ \left |\frac {x}{1+x^2}\right | \]
放缩到一个常数。自然想到基本不等式或
\[ 1+x^2\ge 2|x|. \]
详细解答一：用基本不等式
当 \(x=0\) 时，
\[ f(0)=0. \]
当 \(x\ne 0\) 时，
\[ |f(x)|=\frac {|x|}{1+x^2}. \]
分子分母同除以 \(|x|\)，得
\[ |f(x)|=\frac {1}{\frac 1{|x|}+|x|}. \]
由基本不等式
\[ a+\frac 1a\ge 2,\qquad a>0, \]
令 \(a=|x|\)，得
\[ \frac 1{|x|}+|x|\ge 2. \]
因此
\[ |f(x)|\le \frac 12. \]
结合 \(x=0\) 的情况，对任意 \(x\in \mathbb {R}\)，都有
\[ |f(x)|\le \frac 12. \]
所以 \(f(x)\) 在 \((-\infty ,+\infty )\) 内有界。
详细解答二：直接放缩
由
\[ \frac {1+x^2}{2}\ge \sqrt {x^2}=|x| \]
可得
\[ 1+x^2\ge 2|x|. \]
当 \(x\ne 0\) 时，
\[ |f(x)|=\frac {|x|}{1+x^2}\le \frac {|x|}{2|x|}=\frac 12. \]
当 \(x=0\) 时，仍有 \(f(0)=0\)。综上，
\[ |f(x)|\le \frac 12,\qquad x\in \mathbb {R}. \]
合法性检查：
第一，分母 \(1+x^2>0\)，所以函数在全体实数上有定义。第二，第一种方法中除以 \(|x|\) 前必须单独处理 \(x=0\)。第三，证明有界不要求找到最小的 \(M\)，只要找到一个可行的上界即可；本题实际可取 \(M=\frac 12\)。
考场满分写法：
写出
\[ 1+x^2\ge 2|x|. \]
当 \(x\ne 0\) 时，
\[ |f(x)|=\frac {|x|}{1+x^2}\le \frac {|x|}{2|x|}=\frac 12. \]
当 \(x=0\) 时，\(f(0)=0\)。故对任意 \(x\in \mathbb {R}\)，有
\[ |f(x)|\le \frac 12, \]
所以 \(f(x)\) 在 \((-\infty ,+\infty )\) 内有界。
答案：
\[ \boxed {|f(x)|\le \frac 12,\quad x\in \mathbb {R},\ \text {故} f(x)\text { 有界}.} \]
知识点
核心知识点：
证明有界的本质是找 \(M\)。对于有理函数
\[ \frac {x}{1+x^2}, \]
常用入口是
\[ 1+x^2\ge 2|x|. \]
可迁移方法：
遇到形如
\[ \frac {|x|}{1+x^2} \]
的结构，优先考虑把分母放缩为 \(2|x|\)。如果分母分子都含 \(x\)，还要特别注意 \(x=0\) 是否需要单独处理。
为什么放缩优先于极值法：
本题当然也可以用后续导数方法：先讨论
\[ f(x)=\frac {x}{1+x^2} \]
的单调性，再找极值点，最后得到最大绝对值。但在“只需证明有界”的题里，这条路过重。放缩法直接给出
\[ |f(x)|\le \frac 12, \]
等于绕开了“求导、分区间、找极值、比较端点”的整套流程。考场上，若题目只问“有界”或“估值”，优先想放缩；若题目问“最大值、最小值、取等条件”，再考虑极值法。
易错点
易错点：
-
• 忘记先取绝对值： 有界性通常用 \(|f(x)|\le M\) 表示，而不是只证明 \(f(x)\le M\)。
-
• 除以 \(|x|\) 时漏掉 \(x=0\)： \(|x|=0\) 时不能作为除数。
-
• 误以为必须求最小上界： 证明有界只需找到一个 \(M\)，不一定要求最小。
复盘提醒：
看到“证明有界”，先把目标翻译成“找 \(M\)”。本题要记住标准放缩：
\[ 1+x^2\ge 2|x|. \]